Задача 4. «Ускорение»
Частица, покидает источник.
1). После вылета она пролетает с постоянной скоростью расстояние L, а затем тормозится с ускорением a.
1.1. Какую скорость должна иметь частица на участке равномерного
движения, чтобы время ее движения от вылета до остановки было
минимальным.
1.2. Чему равно это время?
2). После вылета частица начинает двигаться сначала равноускоренно в течение времени to, а затем с тем же по модулю ускорением – равнозамедленно.
2.1. Через какое время от начала движения частица вернется в точку вылета?
2.2. Во сколько раз отличается средняя скорость движения частицы на пути разгона от средней скорости на пути торможения?
Решение:
1) Время движения частицы
t = L/v + v/a,
преобразуем это уравнение к квадратному.
v2 − atv + La = 0.
Решая это уравнение, получим
v1,2 = at ± √[a2t2 − 4La]/2.
Налагая ограничение на дискриминант a2t2 − 4La ≥ 0, в пределе a2t2 = 4La и t = 2√[L/a] − время движения частицы, при этом
v = (a/2) × 2√[L/a] = √[L/a].
1.1. v = √[L/a], 1.2. t = 2√[L/a].
2) Равноускоренно двигаясь, частица прошла расстояние
S1 = ato2/2,
при торможении, с таким же ускорением, до остановки частица пройдет такой же путь
S2 = ato2/2,
весь пройденный путь от начала движения до остановки, равен
S = ato2.
Возвращаясь в исходную точку с тем же по модулю ускорением
at12/2 = ato2
или t1 = to√2 − время обратного возвращения. Общее время от начала движения до возврата в исходную точку равно:
t = 2to + t1 = to(2 + √2).
Средняя скорость движения на пути разгона (1 участок вначале, 2-й участок на обратном пути), равна
vcp1 = (ato2/2 + at12)/(to + t1).
После преобразований, получим
vcp1 = 5ato/(2(1 + √2)).
Средняя скорость на участке торможения
vcp2 = (ato2/to = ato/2.
Отношение скоростей
vcp1/vcp2 = 5/(1 + √2) = 2,071.
2.1. t = to(2 + √2), 2.2. vcp1/vcp2 = 2,071.
| 
