Задача 5. «Шарик на нити».
Маленький шарик подвешен в точке A на нити, длина которой l. В точке O на расстоянии l/2 ниже точки A в стену вбит гвоздь. Шарик отводят так, что нить занимает горизонтальное положение, и отпускают.
1. В какой точке траектории исчезнет натяжение нити (определите угол, образуемый в этот момент нитью с вертикалью)?
2. Как дальше будет двигаться шарик?
3. До какой наивысшей точки поднимется шарик (высоту отсчитывать от гвоздя)?
4. В какой точке шарик пересечет вертикаль, проходящую через точку подвеса (высоту отсчитывать от гвоздя).
Решение:
1. Шарик сначала описывает четверть окружности радиуса, равного длине нити l. Затем нить задевает гвоздь O,
вбитый в стенку, и шарик описывает дугу окружности вдвое меньшего
радиуса. Наконец, когда вес шарика будет сообщать ему
центростремительное ускорение, необходимое для движения по окружности,
натяжение нити обратится в нуль. Пусть это произойдет в точке М (см. рисунок).
Ее положение определим следующим образом. Составляющая веса по направлению радиуса равна Pcosα, где α − угол, образованный нитью в этот момент. Далее, v2 в точке М равно 2gH, где
H = AB = AO − BO = l/2 − (l/2)cosα.
Поэтому центростремительная сила в точке M равна:
mv2/R = 2m(l/2 − (l/2)cosα)g/(l/2) = 2P(1 − cosα).
Итак, в точке M имеем равенство
Pcosα = 2P(1 − cosα) ⇒ cosα = 2/3, α = 48,2°.
2. Далее шарик летит как тело, брошенное под углом α к горизонту с начальной скоростью v = √(gl/3).
3. В этом случае верхняя точка параболы находится выше уровня точки взлета на:
(vsinα)2/(2g) = (5/54)l.
Высота подъема шарика, отсчитываемая от гвоздя, будет равна
h1 = (l/2)cosα + (5/54)l = l/3 + (5/54)l = (23/54)l.
4. Вертикаль, проходящая через точку подвеса, находится от точки M на расстоянии
MB = (l/2)sinα = (√5/6)l.
Чтобы пройти по горизонтали такой путь, шарику потребуется время:
t = MB/(vcosα) =( √15/4) × √(l/g).
За это время шарик по высоте пройдет путь:
vsinα × t − gt2/2 = −(5/96)l,
т. е. пересечет вертикаль AO в точке, лежащей на (5/96)l ниже точки B.
Высота, отсчитываемая от гвоздя, будет равна
h2 = (l/2)cosα − (5/96)l = l/3 − (5/96)l = (9/32)l.
| 
