Задача 4. Два маленьких металлических шарика одинакового радиуса r зарядили одноименными зарядами q1 и q2, и расположили их на расстоянии R друг от друга. Затем шарики на небольшое время соединили тонкой проволочкой.
- Как при этом изменилась (увеличилась или уменьшилась) энергия взаимодействия
- При каком условии это изменение максимально?
- Чему оно равно?
- Какое количество теплоты выделилось в проволочке за время соединения шариков? Считайте R >> r.
Решение:
Начальная энергия взаимодействия зарядов шариков
W1в = q1φ12,
где φ12 = q2/(4πεoR) − потенциал первого шарика, созданный зарядом второго. Поэтому энергия
W1в = q1q2/(4πεoR).
После соединения шариков заряд каждого станет
q/ = (q1 + q2)/2,
а энергия взаимодействия
W2в = (q1 + q2)2/(16πεoR).
Изменение энергии
ΔWв = W2в − W1в = (q1 − q2)2/(16πεoR) > 0.
Значит, энергия максимального взаимодействия увеличилась. Это
увеличение будет максимальным при максимальном числителе, т. е. при
равенстве одного из зарядов нулю. При этом условии
ΔWв max = q2/(16πεoR),
где q − первоначальный заряд заряженного шарика.
Для определения количества выделившейся теплоты Q найдем собственную энергию Wс зарядов шариков и ее изменение при их соединении проволочкой. Начальная собственная энергия
Wс1 = (1/2)q1φ1 + (1/2)q2φ2,
где φ1 = q1/(4πεoR) − начальный потенциал первого шарика, созданный собственным зарядом q1; φ2 = q2/(4πεoR) − начальный потенциал второго шарика, созданный собственным зарядом q2.
Поэтому энергия
Wс1 = (q12 + q22)/(8πεor).
После соединения шариков собственная энергия их зарядов
Wс2 = (q1 + q2)2/(16πεor).
Изменение собственной энергии
ΔWс = Wс2 − Wс1 = −(q1 − q2)2/(16πεor) < 0.
Значит, собственная энергия зарядов уменьшилась. За счет этого увеличилась энергия взаимодействия и выделилась теплота
Q = |ΔWс| − ΔWв = (q1 − q2)2/(16πεor).
Здесь учтено, что R >> r.
|