1. Поршни в длинной трубе.
В горизонтальной достаточно длинной трубе между двумя поршнями
находится моль идеального одноатомного газа. В остальных частях трубы
создан вакуум. В некоторый момент времени абсолютная температура газа
равна To, а поршни движутся навстречу друг другу со скоростями модули которых равны v1 и v2.
Найдите температуру газа в тот момент, когда его давление станет
максимальным. Масса каждого поршня равна M и значительно больше массы
газа.
Допущения: процесс сжатия считайте равновесным, теплообменом газа с окружающими телами пренебречь.
Решение.
Первое решение.
Приступил к решению задачи, выполнил рисунок, записал основные формулы (1 балл)
Запишем закон сохранения энергии
(3/2)RTo + Mv12/2 + Mv22/2 = (3/2)RT + Mv2/2 + Mv2/2. (2 балла)
где, применив закон сохранения импульса в проекции на направление движения первого поршня
mv1 − mv2 = mv + mv (2 балла)
и
v = (v1 − v2)/2. (1 балл)
Давление будет максимальным, когда объем станет минимальным.
Поршни движутся навстречу друг другу, затем тот поршень у которого
импульс меньше остановится и изменит направление движения на
противоположное. До тех пор пока скорости поршней не сравняются, объем
между поршнями будет уменьшаться. (2 балла)
При замене скорости в уравнении энергии, получим такой же конечный ответ
T = To + M(v1 + v2)2/(6R). (2 балла)
Всего за задачу 10 баллов
Второе решение.
Приступил к решению задачи, выполнил рисунок, записал основные формулы (1 балл)
Считаем, что труба покоится относительно инерциальной системы отсчета.
Поскольку труба гладкая и горизонтальная, то, согласно закону сохранения
импульса системы поршни − газ, скорость центра масс
указанной системы при движении поршней изменяться не может.
Давление газа будет максимальным в тот момент, когда поршни сблизятся
на минимальное расстояние, т.е. в тот момент, когда скорости обоих
поршней станут равными vцм. (2 балла)
Поскольку внутренняя энергия моля идеального одноатомного газа равна
U = (3/2)RT, (1 балл)
где R − универсальная газовая постоянная, то, согласно закону сохранения энергии, искомую температуру Т газа можно определить из уравнения
(3/2)RTo + Mv12/2 + Mv22/2 = (3/2)RT + Mvц2/2 + Mvц2/2. (2 балла)
Подставив в это соотношение ранее написанное выражение (1) модуля для скорости центра масс, находим
T = To + M(v1 + v2)2/(6R). (2 балла)
Всего за задачу 10 баллов
| 
