Задача 2. Связанные одной нитью.
Два бруска с одинаковыми массами m скреплены нитью и находятся на наклонной плоскости, составляющей угол α
с горизонтом. Бруски скользят вниз по наклонной плоскости. Каково
натяжение нити, если коэффициент трения верхнего бруска о плоскость μ2, а нижнего μ1?
Решение.
Запишем уравнения движения для каждого из брусков в проекциях на оси, направленные вдоль наклонной плоскости (х) и по нормали к наклонной плоскости (у) (рис.).
Для нижнего бруска имеем:
x: mgsinα − T1 − μ1N1 = ma, (1)
y: N1 − mgcosa = 0. (2)
Для верхнего:
x: mgsinα + T2 − μ2N2 = ma. (3)
y: N2 − mgcosα = 0. (4)
Здесь учтено, что бруски скользят по наклонной плоскости. Это накладывает условие на коэффициенты трения:
(μ1 + μ2)/2 ≤ tga.
Кроме того, ускорения обоих брусков приняты одинаковыми. Это будет так, если μ1 ≤ μ2.
В противном случае ускорение верхнего бруска будет больше, чем нижнего и
они будут двигаться независимо вплоть до столкновения. Сила натяжения
нити при этом равна нулю.
Подставляя N1 и N2 из (2) и (4) в (1) и (3) и приравнивая левые части уравнений (1) и (2), имеем:
mgsinα − T1 − μ1mgcosα = mgsinα + T2.
Так как нить предполагается невесомой, ее натяжение одинаково во всех точках: Т1 = Т2 = Т. Поэтому для Т получаем
T = (1/2)(μ2 − μ1)mgcosα.
К тому же результату можно прийти, если написать уравнение движения для
системы, состоящей из двух брусков, соединенных нитью, найти ускорение,
а потом определить натяжение нити, например, из уравнения (1). В этом
случае отдельного уравнения для второго бруска не потребуется.
| 
