Районная олимпиада по физике за 2007 г. 11 класс Задача 2
Задача 2. «Колебание чаши».
На чашку, подвешенную на пружине с коэффициентом упругости k, падает с высоты h груз массы m и остается на чашке, т. е. удар груза о дно чашки можно считать абсолютно неупругим. Чашка начинает колебаться.
Определите амплитуду колебания чашки, если масса чашки M.
Решение:
1. Когда груз достигнет чашки, она будет обладать кинетической энергией
mv2/2 = mgh. (1)
После удара груз и чашка будут обладать тем же количеством движения,
что и груз до удара, и (поскольку массой чашки мы пренебрегаем) той же
скоростью и той же кинетической энергией, т.е. mgh.
Чашка с грузом после удара будет опускаться и растягивать пружину.
Растяжение пружины будет происходить за счет начальной кинетической
энергии и работы силы тяжести. Если отклонение чашки вниз считать
положительным, то работа силы тяжести есть mgx, где x − отклонение чашки
от начального положения. Поэтому наибольшее растяжение пружины xo определяется из условия, что вся кинетическая энергия и работа силы тяжести пошли на упругую деформацию пружины, т. е.
kxo2/2 = mgh + mgxo. (2)
или
xo2 − (2mg/k)xo − 2mgh/k = 0. (2)
откуда
xo = (mg/k) ± √[m2g2/k2 + 2mgh/k].
При этом наибольшему отклонению вниз соответствует положительный
корень этого уравнения (так как мы условились считать отклонение вниз
положительным). Так как это наибольшее отклонение больше, чем mg/k (что
соответствует положению равновесия чашки, когда в ней лежит шарик), то
достигнув наинизшего положения, чашка начнет подниматься кверху пройдет
через начальное положение и поднимется вверх, сжав пружину. Когда она
остановится в верхнем положении, опять потенциальная энергия сжатой
пружины будет равна сумме начальной кинетической энергии и работы силы
тяжести, т.е. наибольшее отклонение вверх будет определяться также
уравнением (2), но этому отклонению будет соответствовать второй,
отрицательный корень уравнения. Итак, чашка будет совершать колебания
между двумя крайними положениями:
При этом положение равновесия чашки будет соответствовать смещение:
xo = mg/k.
Следовательно, наибольшее отклонение чашки в обе стороны от положения равновесия будут одинаковы и равны:
X = √[m2g2/k2 + 2mgh/k]. (3)
Это и есть амплитуда колебаний чашки.
Если массой чашки М пренебречь нельзя, то скорость, с которой чашка
начнет опускаться, не будет равна скорости, с которой груз достигает
чашки и которая определяется уравнением (1). Для определения скорости v,
с которой начнет опускаться чашка под давлением упавшего груза, надо
применить закон сохранения количества движения. В таком случае будем
иметь:
mv = (M + m)V,
следовательно,
V = mv/(M + m).
Подставляя значение v из уравнения (1), получим
V = [m(m + M)]√(2gh).
Далее, необходимо иметь ввиду, что движущейся массой теперь будет M + m. Кроме того, в начальный момент пружина растянута на длину a вследствие веса чашки, причем
