Задача 5. «Ускоритель».
Строится циклотрон, ускоряющий протоны до кинетической энергии 150 МэВ. Индукция магнитного поля в нем составляет 1,00 Тл.
- Чему должен быть равен радиус магнита?
- На какой частоте должны работать ускоряющие электроды?
- На сколько процентов должна меняться эта частота в процессе ускорения данной частицы из-за наличия релятивистских эффектов?
Справочный материал: mp = 1,67 × 10−27 кг − масса покоя протона, q = 1,6 × 10−19 Кл − заряд протона, с = 3 × 108 м/с − скорость света, 1 эВ = 1,6 × 10−19 Дж.
Решение:
1. Заряженная частица в магнитном поле движется по окружности радиуса R = mv/(qB).
Этот результат сохраняется и в релятивистском случае, поскольку при
таком движении меняется только направление скорости, а не ее величина.
Так как mv = p, то p = qBR, заряд частицы равен q = Zqe. Из уравнения E = K + Eo или
m = K/c2 + mo.
Где
m = mo/√[1 − v2/c2],
тогда
mo/√[1 − v2/c2] = K/c2 + mo.
Из этого уравнения выразим скорость движения протона при K = 150 МэВ.
1/(K/(moc2) + 1) = √[1 − v2/c2]
и
v2/c2 = 1 − 1/(K/(moc2 )+ 1)2.
v = √{1 − 1/(K/(moc2) + 1)2} × c.
Теперь определим радиус магнита как радиус вращения протона
R = moc√(1 − 1/(K/(moc2) + 1)2)/{qB;(1 − [1 − 1/(K/(moc2) + 1)2)]}. (1)
После вычислений R = 1,85 м.
2. Частота ускоряющего электрического поля должна совпадать с частотой обращения частицы
ν = qB/(2πm) = qB;√{1 − (1 − 1/(K/(moc2) + 1)2)}/(mo2π).
После подстановки значений и вычислений ν = 0,13 × 108 Гц.
3. В начале ускорения частиц (частицы не релятивистские) частота электрического поля должна быть
ν = qB/(2πmo) = 0,15 × 108 Гц.
поэтому изменение частоты в процессе ускорения равно
(νo − ν)/νo = 12 %.
| 
