Задача 3. Испытание на прочность.
Альпинистская капроновая веревка подчиняется закону Гука, пока не разрывается при силе натяжения T = 22 кН, растягиваясь на 25 % от своей первоначальной длины. С веревкой проводят следующее испытание: один конец веревки длиной L закрепляют на стенке, и с высоты, равной L, выше точки крепления, сбрасывают груз массой m, привязанный к другому концу. При каком максимальном грузе m веревка обязана выдержать рывок?
Решение.
Обозначим коэффициент жесткости веревки длиной L через k. Тогда из закона Гука
T = kΔL = kαL
определим жесткость веревки
k = T/(αL).
Поскольку T ? это сила, которая растягивает веревку на длину ΔL = αL.
Рассмотрим схему испытания веревки на прочность при максимально возможной массе груза m.
Упав с высоты 2L, этот груз растянул веревку до максимального удлинения
ΔL = αL
и остановился.
При этом потенциальная энергия груза в поле силы тяжести уменьшилась на величину
ΔU1 = mg2L + mgαL = mgL(2 + α).
А потенциальная энергия, запасенная в упругой веревке увеличилась на
ΔU2 = kΔL2/2 = k(αL)2/2.
Сделав замену k
ΔU2 = TαL/2.
Поскольку и в верхней и в нижней точке кинетическая энергия груза равна нулю, то
MgL(2 + α) = TαL/2.
Отсюда масса груза определяется выражением
m = Tα/(2g(2 + α)).
После вычисления m ≈ 122 кг, при g = 10 м/с2.
| 
