Задача 5. Шарику, находящемуся на массивной (M > > m) плите сообщают скорость направленную вертикально вверх и равную 10 м/с.
Одновременно с этим плита начинает движение вертикально вверх. На
графике представлена зависимость проекции скорости плиты на вертикальное
направление от времени. Скорости плиты и мяча заданы относительно
Земли.
- 5.1. Определите расстояние между плитой и шариком в момент достижения последним максимальной высоты подъема.
- 5.2. На какую высоту подскочит шарик после первого абсолютно упругого столкновения с плитой.
- 5.3. Определите скорость шарика в момент остановки плиты.
- 5.4. С какой скоростью шарик упадет на остановившуюся плиту.
Примечание: 1) при абсолютно упругом столкновении
происходит изменение направления вектора скорости без изменения
величины самой скорости. 2) ответы должны быть получены для исходной
системы отсчета в которой заданы начальные скорости шарика и плиты.
[решение]
Решение:
5.1. Шарик, брошенный вертикально вверх поднимется за время t = vo/g = 1 c до максимальной высоты h = vo2/(2g) = 102/(2 × 10) = 5 м, относительно начального своего положения. За одну секунду полета шарика плита переместится вверх на расстояние S = v1t = 1 × 1 = 1 м. Следовательно, расстояние между плитой и шариком при достижении последним максимальной высоты подъема составит L = h − S = 5 − 1 = 4 м.
5.2. В течение 2 c плита равномерно движется вверх и пройдет относительно своего первоначального положения S = v1t1 = 1 × 2 = 2 м. Шарик, поднявшись на высоту 5 м за 1 с
за это же время вернется в первоначальное положение (при отсутствии
плиты). Следовательно, столкновение произойдет раньше. Запишем уравнения
движения для плиты y1 = 1 + 1t и для шарика y2 = 5 − gt2/2. В момент столкновения координаты совпадут, тогда
5 − gt2/2 = 1 + 1t или 5t2 + 1t − 4 = 0.
Решая это уравнение, относительно времени столкновения, получим
Откуда t1 = 0,8 с и t2 = −1 с.
По условию задачи нам подходит первый корень.
Столкновение шарика с плитой произойдет в точке
x1 = x2 = v1(t1 + t2) = 1 × 1,8 = 1,8 м
относительно первоначального положения шарика и плиты.
При столкновении скорость шарика будет равна v2 = gt2 = 10 × 0,8 = 8 м/с.
Для определения скорости отскока шарика относительно земли после
упругого взаимодействия с плитой перейдем в систему отсчета связанную с
плитой. В этой систем отсчета шарик будет налетать на покоящуюся плиту
со скоростью (8 + 1) = 9 (м/с), с такой же скоростью он
и отскочит от «остановленной» плиты. Возвращая плиту в прежнее
состояние (движение вверх с постоянной скоростью 1 м/с) мы должны учесть прибавку этой же скорости и шарику. В результате взаимодействия с плитой шарик отскочит со скоростью v3 = v2 + 2v1 = 8 + 2 × 1 = 10 м/с. Высота подъема шарика опять составит 5 м относительно места столкновения с плитой или шарик окажется на расстоянии S1 = 1,8 + 5 = 6,8 м относительно первоначального своего положения.
5.3. После столкновения с шариком плита будет двигаться вверх еще 0,2 с и вниз 2 с до остановки. Следовательно, шарик будет находиться в полете до остановки плиты 2,2 с. За это время он поднимется вверх (1 с) и свободно будет падать 1,2 с вниз. При этом его пройденное расстояние составит H1 = gt2/2 = 10 × 1,22/2 = 7,2 м, что превышает высоту, на которой находился шарик (6,8 м)
относительно первоначального уровня. Это означает, что столкновение
шарика и плиты произойдет еще до остановки плиты. Найдем координату
столкновения. Запишем уравнения движения на момент нахождения шарика в
своей высшей точке. В этот момент плита уже сменила направление своего
движения (через 0,2 с) и прошла расстояние за 0,8 с равное 0,8 м и ее координата составляет 1,2 м. Тогда
y1 = 1,2 − 1t и y2 = 6,8 − gt2/2.
Приравняем координаты, получим после преобразования
5t2 − 1t − 5,6 = 0.
Решая квадратное уравнение, находим
откуда t1 = 1,16 с и t2 = −19,6 c.
Понятно, что нас интересует первый корень t1 = 1,16 с. К моменту столкновения шарик приобретет скорость v3 = gt = 10 × 1,16 = 11,6 м/с. Перейдя в систему отсчета связанную с плитой (движется вниз) шарик налетает со скоростью, модуль которой равен 11,6 − 1 = 10,6 (м/с).
С такой же скоростью он отскакивает относительно покоящейся плиты.
Следовательно, «запустив» плиту обратно, мы вычтем скорость плиты из
скорости отскочившего шарика, в итоге скорость отскока шарика составит 10,6 − 1 = 9,6 м/с. Это произойдет в точке с координатой y1 = 1,2 − 1 × 1,16 = 0,04 м.
До остановки шарику потребуется время t/ = 0,04/1 = 0,04 с. Тогда скорость шарика в момент остановки плиты составит v/ = 9,6 − 10 × 0,04 = 9,2 м/с.
5.4. Высота подъема шарика составит, относительно первоначального положения
H = v2/(2g) + y1 = 9,62/(2 × 10) + 0,04 = 4,648 м.
Скорость падения шарика на плиту составит
v = √(2gH) = √(2 × 10 × 4,648) = 9,64 м/с.
Ответы: 4 м; 6,8 м; 9,2 м/с; 9,64 м/с
|
